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Variance

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\begin{eqnarray*}
\sum (X_i-\mu)^2 & = & \sum [(X_i^2)-(2*X_i*\mu)+(\mu^2)] \\
& = & \sum (X_i)^2 - \sum (2*X_i*\mu) + (\mu^2) \\
& = & \sum (X_i)^2 - \sum (2*X_i*\mu) + \sum (\mu^2) \\
& = & \sum (X_i)^2 - 2 \mu \sum (X_i) + N (\mu^2) \\
& = & \sum (X_i)^2 - 2 \mu (N * \mu) + N (\mu^2) \\
& = & \sum (X_i^2) - N * \mu^2

Mean,Mode,Median 등의 중심경향값과 더불어서 많이 사용되는 statistics, 통계치로는 데이터가 얼마나 퍼져 있는지 (spread)를 나타내는 분산(variation)의 정도를 나타내 주는 statistics, 통계치가 있다. 가장 평이하고 이해하기 쉬운 개념으로는 범위 혹은 Range 가 있으며, 다소 직관적이지는 않지만 여러가지 통계 계산에 사용되는 것으로는 Variance(분산)이 있다.

아래의 그래프는 각각 그 평균과 분산값이 다른 그래프이다. 각각 녹색라인의 경우 (가장 왼쪽), 평균은 0, 분산값은 25 이고; 청색라인은 평균이 7, 분산값은 4, 마지막으로 오렌지색 라인의 경우는 평균은 10, 분산 값은 1 인 경우이다 (please ignore the squre value in the figure).

variance01.jpg
[JPG image (27.92 KB)]


그림에서 직관적으로 보고 알 수 있듯이 분산은 그래프의 분포가 평균을 중심으로 얼마나 퍼져있는지를 (spread) 나타내주는 일종의 지표이다. 어떤 집합이 평균을 중심으로 얼마나 퍼져 있는가를 알아보기 위한 방법으로는 상식적으로 떠올릴 수 있는 것은 각 개인의 점수가 평균에서 얼마나 떨어져 있는가를 측정하여 모두 더한 후 이를 개인 수로 (number of elements) 나누는 방법을 떨올릴 수 있다. 개인의 점수가 평균에서 얼마나 떨어져 있는가를 deviation score라고 한다. 아래의 그래프는 평균이 100인 그래프를 그린 것인데, 어느 한 개인의 점수가 120이라고 하면 그 개인의 deviation score는 120-100, 즉 20이라고 할 수 있다.

DeviationScore.jpg
[JPG image (57.43 KB)]


개인의 deviation score를 모두 더하는 것은 아래의 수식으로 표현할 수 있다. 즉, 어떤 집합의 개인의 숫자가 N이라고 하고, 각 개인을 Xi 로 나타낼 때, deviation score의 합은 아래와 같다.

$Sum\; of\; Deviation \; Score = \displaystyle \sum_{i=1}^n ({X_i-\mu})$

이를 집합을 이루는 개인의 숫자인 n으로 나누면 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\text{Average \; of \; Deviation \; Score} = \displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N ({X_i-\mu})}{N}$

이렇게 하면 "개인들의 점수가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 종합적으로 나타내 주는 지수가 될 수 있는것 처럼 보인다. 그러나, 이 방법의 문제는 deviation score의 합은 언제나 0이라는 점에 있다. 즉, 어떤 집합이든지 분산값을 위와 같이 구하려고 한다면, 그 분자 값은 언제나 0이 된다는 점이다. 사실 평균이 하는 역할 중의 하나는 바로 각 개인의 수치의 무게중심을 찾아 주는 역할이므로 이와 같은 결과가 당연하다. 아래는 이를 나타내 주는 예이다.

Xscoredeviation score
X1 3 3-4=-1
X2 4 4-4=0
X3 3 3-4=-1
X4 4 4-4=0
X5 6 6-4=2
total 20 0
Mean 4
n 5

deviation score의 합을 구하기 전에 각 deviation score의 값을 제곱을 하여 주면 이와 같은 결과를 방지할 수 있는데, 이를 수식으로 표현하면 아래와 같다.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N (X_i-\mu)^2}{N}$

분산 값은 위와 같은 방법을 이용하여 구하게 된다. 따라서,

$Var[X] = \sigma^2= \displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N (X_i-\mu)^2}{N}$

이를 우리나라 말로 옮기자면, "X 변인의 분산값은 X 변인의 각 개체값에서 평균값을 뺀 수의 제곱을 모두 더한 후, 이를 개체 수인 n으로 나누어 주어서 구한다"라고 읽는다. 따라서 위의 보기에서 들었던 X 변인의 집합에서 분산 값은 1.5이다.

Xscoredeviation scoresquared value
X1 3 3-4=-1 1
X2 4 4-4=0 0
X3 3 3-4=-1 1
X4 4 4-4=0 0
X5 6 6-4=2 4
total 20 0 6
Mean, Variance 4 6/4 = 1.5
n 5 5

분산의 공식을 5명으로 이루어진 집합에 사용하는 것은 큰 무리가 없지만, 100명으로 이루어진 집합에 적용하는 것은 손이 많이 간다는 단점이 있다. 따라서, 위의 분산 공식을 변형한 공식을 쓰기도 하는데, 형식만 다를 뿐이지 똑같은 공식이다.

$ \sigma^2 = \displaystyle \frac{\displaystyle \sum (X_i-\mu)^2}{N}$ 에서

\begin{eqnarray*} \sum (X_i-\mu)^2 & = & \sum [(X_i^2)-(2*X_i*\mu)+(\mu^2)] \\ & = & \sum (X_i)^2 - \sum (2*X_i*\mu) + \sum (\mu^2) \\ & = & \sum (X_i)^2 - 2 \mu \sum (X_i) + N (\mu^2) \\ & = & \sum (X_i)^2 - 2 \mu (N * \mu) + N (\mu^2) \\ & = & \sum (X_i^2) - N * \mu^2 \end{eqnarray*}
x
위에서, $\text{2 and}$ $\mu$ $\text{are constants. }$


\begin{align*} \displaystyle \mu & = \frac{\sum (X_i)}{N} \\ \sum (X_i) & = N * \mu \\ \end{align*}


따라서 분산값은 아래의 공식으로도 구할 수 있다.

\begin{eqnarray} \sigma^2 & = & \displaystyle \frac{\sum (X_i^2) - N * \mu^2}{N} \nonumber \\ & = & \displaystyle \frac{\sum (X_i^2)}{N} - \mu^2 \end{eqnarray}

분산값이 크고 작고가 의미하는 것은 그 집합의 분포가 평균을 중심으로 얼마나 넓게 퍼져 있는가를 나타내 준다는 것이다. 만약에 분산 값이 크다면 그 집합의 분포가 평균을 중심으로 넓게 퍼져있음을 의미한다.

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샘플의 분산으로 모집단의 분산값을 추정할 때에는, 샘플의 숫자인 $n$ 대신에 $n-1$ 을 사용하기도 한다 (참조. estimated standard deviation. 샘플의 분산은 $s^2$ 을 기호로 사용한다.

$ s^2 = Var[X] = \displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2}{n-1}$

흔히들 부르기를, 분산 공식의 분자부분을 Sum of Squares라고 부르고 줄여서 SS라고 쓰고, n-1을 degrees of freedom 혹은 이를 줄여서 df라고 쓴다. 따라서 위의 분산을 구하는 식은 아래와 같이 표현될 수 있다.

$s^2 = \displaystyle \frac{SS}{df}$


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last modified 2012-05-08 14:46:57
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